$F(z)\colon=(z+1/z)/2$ bildet $\O\colon=\{z\in H^+:|z| > 1\}$ konform auf $H^+$ ab. Folgern Sie: $a(z+1/z)$ ist ein komplexes Potential einer zu $\pa\O$ tangentialen Potentialströmung mit dem komplexen Geschwindigkeitsfeld $V(z)=a(1-\bar z^{-2})$.
Sei $z=x+iy$, dann ist
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w=F(z)=\frac{x(|z|^2+1)}{2|z|^2}+i\frac{y(|z|^2-1)}{2|z|^2}
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also $\Im w > 0$ genau dann, wenn $y(|z|^2-1) > 0$, d.h. $F(\O)\sbe H^+$. Für $z=x\in\R$ folgt: $F(x)=|(x+1/x)/2|\geq1$ und für $z=e^{i\theta}$: $F(z)=\cos(\theta)$, also $F(\pa\O)=\R$.
Die Gleichung $F(z)=w$ ist gleichbedeutend mit: $(z-w)^2=w^2-1$, also $z_1=w-\sqrt{w^2-1}$ und $z_2=w+\sqrt{w^2-1}$. Da $z_1z_2=1$ und $(z_1+z_2)/2=w\in H^+$, liegt genau eine der beiden Zahlen in $H^+$. Ferner gilt entweder $|z_1| > 1 $ oder $|z_2| > 1 $ oder $z_1=e^{i\theta}$ und $z_2=e^{-i\theta}$. In letzterem Fall liegt aber $w$ in $\pa\O$. Es folgt: $F:\O\rar H^+$ ist bijektiv.
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V(z)=a\cl{1-1/z^2}=a(1-\bar z^{-2})
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