Berechnen Sie für $-1 < \Re a < 1$:
$$
\int_\R\frac{\cosh(at)}{\cosh t}\,dt
$$
Hinweis: Sei $S=\{z\in\C:0 < \Im z < \pi\}$; integrieren Sie die Funktion
$f(z)\colon=\cosh(az)/\cosh(z)$ längs $\pa S$.
Sei $0 < a < 1$; auf dem Streifen $S=\{z\in\C:0<\Im z<\pi\}$ besitzt
die Funktion $f(z)\colon=\cosh(az)/\cosh(z)$ nur einen einfachen
Pol, nämlich $z=i\pi/2$ mit dem Residuum $-i\cos(a\pi/2)$.
$$
\int_{\pa S}f(z)\,dz
=2\pi\cos(a\pi/2)
$$
Nun ist $\cosh(at+ia\pi)=\cosh(at)\cosh(ia\pi)-\sinh(at)\sinh(ia\pi)$; da die Funktion $t\mapsto\sinh(at)/\cosh(t)$ ungerade ist und $\cosh(z+\pi i)=-\cosh(z)$, erhalten wir:
$$
\int_{\pa S}f(z)\,dz
=(1+\cos(a\pi))\int_\R\frac{\cosh(at)}{\cosh t}\,dt
$$
also:
$$
\int_\R\frac{\cosh(at)}{\cosh t}\,dt
=\frac{2\pi\cos(a\pi/2)}{1+\cos(a\pi)}
=\frac{\pi}{\cos(a\pi/2)}~.
$$