Berechnen Sie für
−
1
<
ℜ
a
<
1
:
∫
R
cosh
(
a
t
)
cosh
t
d
t
Hinweis: Sei
S
=
{
z
∈
C
:
0
<
ℑ
z
<
π
}
; integrieren Sie die Funktion
f
(
z
)
:
=
cosh
(
a
z
)
/
cosh
(
z
)
längs
∂
S
.
Sei
0
<
a
<
1
; auf dem Streifen
S
=
{
z
∈
C
:
0
<
ℑ
z
<
π
}
besitzt die Funktion
f
(
z
)
:
=
cosh
(
a
z
)
/
cosh
(
z
)
nur einen einfachen Pol, nämlich
z
=
i
π
/
2
mit dem Residuum
−
i
cos
(
a
π
/
2
)
.
∫
∂
S
f
(
z
)
d
z
=
2
π
cos
(
a
π
/
2
)
Nun ist
cosh
(
a
t
+
i
a
π
)
=
cosh
(
a
t
)
cosh
(
i
a
π
)
−
sinh
(
a
t
)
sinh
(
i
a
π
)
; da die Funktion
t
↦
sinh
(
a
t
)
/
cosh
(
t
)
ungerade ist und
cosh
(
z
+
π
i
)
=
−
cosh
(
z
)
, erhalten wir:
∫
∂
S
f
(
z
)
d
z
=
(
1
+
cos
(
a
π
)
)
∫
R
cosh
(
a
t
)
cosh
t
d
t
also:
∫
R
cosh
(
a
t
)
cosh
t
d
t
=
2
π
cos
(
a
π
/
2
)
1
+
cos
(
a
π
)
=
π
cos
(
a
π
/
2
)
.