Der Shift-Operator $S:\ell_2\rar\ell_2$, $Se_n=e_{n+1}$, besitzt überhaupt keine Eigenwerte aber $\Spec(S)=[|z|\leq1]$.
1. $S$ besitzt keinen Eigenwert: Sei $0=zx-Sx$, also
$$
0=(z-S)x
=\sum_{n=1}^\infty zx_ne_n-\sum_{n=1}^\infty x_ne_{n+1}
=zx_1e_1+\sum_{n\geq2}(zx_n-x_{n-1})e_n
$$
i.e. $zx_1=0$ und für alle $n\geq2$: $zx_n=x_{n-1}$. Somit folgt für $z\neq0$: $0=x_1=x_2=\cdots$, also $x=0$. Für $z=0$ folgt aber auch $0=x_1=x_2=\cdots$.
2. $\Spec(S)\spe[|z|\leq1]$. Sei $z\in\C$ mit $|z|\leq1$, dann folgt aus der Gleichung $(z-S)x=e_1$:
$$
e_1=zx_1e_1+\sum_{n\geq2}(zx_n-x_{n-1})e_n
$$
und wir erhalten die Rekursion:
$$
zx_1=1,
\quad\mbox{und}\quad
x_n=x_{n-1}/z~.
$$
D.h. $x_n=z^{-n}$ und da $|z^{-1}|\geq1$, gibt es keinen Vektor $x\in\ell_2$, so daß $(z-S)x=e_1$, i.e. $z-S$ ist nicht surjektiv und damit $[|z|\leq1]\sbe\Spec(S)$.
3. $\Spec(S)\sbe[|z|\leq1]$. Falls $|z| > 1$, dann konvergiert die Reihe
$$
U_z\colon=\sum_{n=0}^\infty S^n/z^{n+1}
$$
in $L(\ell_2)$ absolut, denn $\norm S=1$ und es gilt: $(z-S)U_z=U_z(z-S)=1$, i.e. $\Spec(S)\sbe[|z|\leq1]$.