Sei für $|z| < 1$, $\a > 0$ und $x\in(-1,1)$: $$ F(x,z)\colon=\frac{1}{(1-2xz+z^2)^\a} =\sum_{n=0}^\infty C_n^{(\a)}(x)z^n~. $$ $C_n^{(\a)}$ ist ein Polynom $n$-ten Grades - das $n$-te Gegenbauer oder ultrasphärische Polynome.
Die Taylor-Reihe von $(1-t)^{-\a}$ liefert: $$ F(x,z)=\sum_{n\geq0}{-\a\choose n}(2zx-z^2)^n =\sum_{n\geq0}\sum_{k=0}^n{-\a\choose n}{n\choose k}(-1)^k2^{n-k}x^{n-k}z^{n+k} $$ Setze $n+k=m$, dann gibt es zu jedem $m\in\N_0$ für das Paar $(n,k)$ nur die Möglichkeiten: $(m,0),(m-1,1),\ldots,([m/2],m-[m/2])$, also $$ F(x,z)=\sum_{m\geq0}\sum_{k=0}^{[m/2]}{-\a\choose m-k}{n\choose k}(-1)^k2^{m-2k}x^{m-2k}z^m $$ Bemerkung: Anstelle der Funktion $(1-t)^{-\a}$ kann man eine beliebige analytische Funktion $h:(-1,1)\rar\R$ nehmen; die Koeffizienten sind stets Polynome in $x$!