Seien $N\in\N$ und $f:[0,N]\rar\R$ glatt, dann gilt für alle $n\in\N$ die Eulersche Summenformel:
\begin{eqnarray*}
\int_0^Nf(x)\,dx-\sum_{j=0}^Nf(j)
&=&-\frac12(f(N)+f(0))-\sum_{k=1}^{n}\frac{B_{2k}}{(2k)!}
\left(f^{(2k-1)}(N)-f^{(2k-1)}(0)\right)\\
&&+\frac1{(2n)!}\int_0^NB_{2n}(x-[x])f^{(2n)}(x)\,dx~.
\end{eqnarray*}
Sei $1\leq j\leq N$; aufgrund
der Beziehungen $B_1^\prime=B_0=1$, $B_1(0)=-1/2$ und
$B_1(1)=1/2$ gilt:
\begin{eqnarray*}
\int_{j-1}^j f(x)\,dx
&=&\int_0^1B_0(x)f(x+j-1)\,dx\\
&=&\tfrac12(f(j)+f(j-1))
-\int_0^1B_1(x)f^\prime(x+j-1)\,dx\\
&=&\tfrac12(f(j)+f(j-1))
-\int_{j-1}^jB_1(x-[x])f^\prime(x)\,dx
\end{eqnarray*}
und für alle $n\geq1$ folgt aus
$B_{n+1}^\prime=(n+1)B_n$ und
$B_{n+1}(0)=B_{n+1}(1)=B_{n+1}$:
\begin{eqnarray*}
\int_{j-1}^jB_n(x-[x])f^{(n)}(x)\,dx
&=&\int_0^1B_n(x)f^{(n)}(x+j-1)\,dx\\
&=&\tfrac{B_{n+1}}{n+1}(f^{(n)}(j)-f^{(n)}(j-1))
-\tfrac1{n+1}\int_0^1B_{n+1}(x)f^{(n+1)}(x+j-1)\,dx\\
&=&\tfrac{B_{n+1}}{n+1}(f^{(n)}(j)-f^{(n)}(j-1))
-\tfrac1{n+1}\int_{j-1}^jB_{n+1}(x-[x])f^{(n+1)}(x)\,dx~.
\end{eqnarray*}
Unter Beachtung der Beziehung $B_{2k+1}=0$ für $k\geq1$
erhalten wir nach $2n$-maliger partieller Integration:
\begin{eqnarray*}
\int_{j-1}^jf(x)\,dx
&=&\tfrac12(f(j)+f(j-1))
+\sum_{k=1}^{n}\tfrac{B_{2k}}{(2k)!}
\left(f^{(2k-1)}(j)-f^{(2k-1)}(j-1)\right)\\
&&-\tfrac{1}{(2n)!}
\int_{j-1}^jB_{2n}(x-[x])f^{(2n)}(x)\,dx~.
\end{eqnarray*}
Summation über $j=1,\ldots,n$ liefert für alle $n\geq1$:
\begin{eqnarray*}
\int_0^Nf(x)\,dx-\sum_{j=0}^Nf(j)
&=&-\tfrac12(f(N)+f(0))\\
&&-\sum_{k=1}^{n}\tfrac{B_{2k}}{(2k)!}
\left(f^{(2k-1)}(N)-f^{(2k-1)}(0)\right)\\
&&+\tfrac1{(2n)!}
\int_0^NB_{2n}(x-[x])f^{(2n)}(x)\,dx~.
\end{eqnarray*}