Berechnen Sie:
$$
\int_\R\frac{\log(t+i)}{t^2+1}\,dt
\quad\mbox{und}\quad
\int_0^\infty\frac{\log(t^2+1)}{t^2+1}\,dt
$$
Die Funktion $f:z\mapsto\log(z+i)/(z^2+1)$ ist auf $[\Im z\geq-1]\sm\{i\}$ differenzierbar und es gilt: $\lim_{z\to\infty}zf(z)=0$, also:
$$
\int_\R f(z)\,dz
=2\pi i\Res(i,f)
=2\pi i\log(2i)/2i
=\pi(\log 2+i\pi/2)
$$
Analog ist $g:z\mapsto\log(-i+z)/(1+z^2)$ in einer Umgebung von $[\Im z\leq-1]\sm\{-i\}$ differenzierbar und es gilt: $\lim_{z\to\infty}zg(z)=0$, also:
$$
\int_\R g(z)\,dz
=-2\pi i\Res(-i,g)
=-2\pi i\log(-2i)/(-2i)
=\pi(\log 2-i\pi/2)
$$
Somit erhalten wir: $\int_\R f(t)+g(t)\,dt=2\pi\log2$. Da für $t\in\R$: $\log(t+i)+\log(t-i)=\log(t^2+1)$, folgt: $\int_0^\infty\log(t^2+1)/(t^2+1)\,dt=\pi\log2$.