Berechnen Sie für $0 < b < a$:
$$
\int_0^{2\pi}\frac1{(a+b\sin t)^2}\,dt
$$
Seien $c=a/b>1$, $z_1=i(-c-\sqrt{c^2-1})\notin D$ und
$z_2=i(-c+\sqrt{c^2-1})\in D$, dann ist
$$
\wt R(z)=\frac1{z(a+b(z-1/z)/2i)^2}
=\frac{-4z}{b^2(z-z_1)^2(z-z_2)^2}
$$
Das Residuum bei $z_2$ ist daher mit $h(z)\colon=\wt R(z)(z-z_2)^2
=-4z/b^2(z-z_1)^2$:
$$
h^\prime(z_2)
=\frac{8z_2}{b^2(z_2-z_1)^3}-\frac{4}{b^2(z_2-z_1)^2}
=\frac{4(z_2+z_1)}{b^2(z_2-z_1)^3}~.
$$