Berechnen Sie für $a > b > 0$:
$$
\int_0^{2\pi}\frac1{a^2\cos^2t+b^2\sin^2t}\,dt
$$
In diesem Fall ist mit $c=\sqrt{(a-b)/(a+b)}\in(0,1)$:
\begin{eqnarray*}
\wt R(z)&=&\frac4{z(a^2(z+1/z)^2-b^2(z-1/z)^2)}\\
&=&\frac4{z(a(z+1/z)+b(z-1/z))(a(z+1/z)-b(z-1/z))}\\
&=&\frac{4z}{(z^2(a+b)+(a-b))(z^2(a-b)+(a+b))}\\
&=&\frac{4z}{(a^2-b^2)(z+ic)(z-ic)(z+i/c)(z-i/c)}~.
\end{eqnarray*}
Also:
$$
\Res(ic,\wt R)
=\frac{2}{(a^2-b^2)(-c^2+1/c^2)}
=\Res(-ic,\wt R)~.
$$
Damit erhalten wir für das Integral:
$$
\frac{8\pi}{(a^2-b^2)(-(a-b)/(a+b)+(a+b)/(a-b))}
=\frac{8\pi}{-(a-b)^2+(a+b)^2}
=\frac{2\pi}{ab}~.
$$