Mellin- und Fourier-Transformierte: Sei $f:\R^+\rar\C$ und $F(x)\colon=f(e^x)e^x$. Dann gilt
$$
\wh F(y)=c_1Mf(-iy)
\quad\mbox{wobei}\quad
Mf(y)=\int_0^\infty f(t)t^{y}\,dt~.
$$
i.e. die Fourier-Transformierte von $F$ ist i.W. die Mellin-Transformierte von $f$. 2. Zeigen Sie:
$$
f(t)=\frac1{2\pi t}\int_0^\infty Mf(-i\log s)s^{i\log t-1}\,ds
$$
2. Nach 1. erhalten wir mit $s=e^y$: $y=\log s$ und $dy=s^{-1}\,ds$, also:
\begin{eqnarray*}
f(e^x)e^x
&=&F(x)
=c_1\int_\R\wh F(y)e^{ixy}\,dy\\
&=&c_1^2\int_\R Mf(-iy)e^{ixy}\,dy
=c_1^2\int_0^\infty Mf(-iy)s^{ix-1}\,ds~.
\end{eqnarray*}