Zeigen Sie für $x > 0$ und $0 <\Re a < 1$:
$$
x^{-a}=\frac{\sin(a\pi)}{\pi}\int_0^\infty\frac{t^{-a}}{t+x}\,dt
$$
2. Sei $c$ eine Parametrisierung des Randes von $\O_\theta\colon=\{z\in\C:|\arg(z)|\leq\theta\}$. Zeigen Sie:
$$
I(a,\theta)
\colon=\frac1{2\pi i}\int_c\frac{z^{-a}}{z+x}\,dz
=x^{-a}e^{-a\pi i}
$$
1. Mit $t=sx$ folgt:
$$
\int_0^\infty\frac{t^{-a}}{t+x}\,dt
=x^{-a}\int_0^\infty\frac{s^{-a}}{1+s}\,ds
=x^{-a}\frac{\pi}{\sin((1-a)\pi)}
=x^{-a}\frac{\pi}{\sin(a\pi)}~.
$$
2. $c=c_1^{-1}c_2$ mit $c_1(t)=e^{i\theta}t$ und $c_1(t)=e^{i(2\pi-\theta)}t$; nach dem Cauchyschen Integralsatz ist $I(a,\theta)$ unabhängig von $\theta$ und mit $\theta\dar0$ folgt:
$$
2\pi iI(a,0)
=\int_0^\infty-\frac{t^{-a}}{t+x}+\frac{e^{-2\pi ia}t^{-a}}{t+x}\,dt
=x^{-a}\frac{\pi(1-e^{-2a\pi i})}{\sin(a\pi)}
=x^{-a}e^{-a\pi i}2\pi i~.
$$