Zeigen Sie, daß die Fourier-Transformierte der Funktion $f(x)\colon=1/\cosh(x)$ gegeben ist durch
$$
\wh f(y)=\frac{\sqrt{\pi/2}}{\cosh(\pi y/2)}~.
$$
Folgern Sie, daß $x\mapsto1/\cosh(\sqrt{\pi/2}\,x)$ eine Eigenfunktion der Fourier-Transformation zum Eigenwert $1$ ist.
Wir integrieren über das Rechteck mit den Eckpunkten $-n,n,n+\pi i,-n+\pi i$. In diesem Bereich hat die Funktion $f(z)=e^{-izy}/\cosh(z)$ nur einen Pol im Punkt $z=i\pi/2$ mit dem Residuum
$$
\frac{e^{-iyi\pi/2}}{\sinh(i\pi/2)}
=-ie^{\pi y/2}~.
$$
Nach dem Residuensatz erhalten wir also mit $n\to\infty$:
$$
2\pi e^{\pi y/2}
=\lim_{n\to\infty}\int_{-n}^nf(z)\,dz
-\lim_{n\to\infty}\int_{-n}^{n}f(z+i\pi)\,dz
=\lim_{n\to\infty}\int_{-n}^n\frac{e^{-izy}}{\cosh(z)}
+e^{\pi y/2}\frac{e^{-izy}}{\cosh(z)}
=(1+e^{\pi y/2})\int_\R\frac{e^{-ixy}}{\cosh(x)}\,dx
$$
Es folgt:
$$
\int_\R\frac{e^{-ixy}}{\cosh(x)}\,dx
=2\pi\frac{e^{\pi y/2}}{1+e^{\pi y/2}}
=\frac{\pi}{\cosh(\pi y/2)}~.
$$
2. Da mit $f_a(x)\colon=f(ax)$: $\wh f_a(y)=\wh f(y/a)/a$ und $\pi/2a=a$, folgt die zweite Behauptung aus 1.