[Euler]
Zeigen Sie mithilfe der Produktdarstellungen der Sinusfunktion, daß
für alle $|z| < 1$:
$$
\pi z\cot(\pi z)-1
=z\ftd z\Big(\log\frac{\sin(\pi z)}{\pi z}\Big)
=-2\sum_{n=1}^\infty\z(2n)z^{2n}
$$
wobei $\z$ die Riemannsche Zetafunktion bezeichnet. Hinweis: Benutzen Sie
die Taylor-Reihe von $\log(1-w)$ und Fubini.
Aus der Produktdarstellungen der Sinusfunktion und der Taylor-Reihe
für $\log(1-w)$ folgt für alle $|z| < 1$:
$$
\log\frac{\sin(\pi z)}{\pi z}
=\sum_{k=1}^\infty\log(1-z^2/k^2)
=-\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=1}^\infty\frac{z^{2n}}{nk^{2n}}
$$
und damit:
$$
z\ftd z\Big(\log\frac{\sin(\pi z)}{\pi z}\Big)
=-2\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=1}^\infty\frac{z^{2n}}{k^{2n}}
=-2\sum_{n=1}^\infty\z(2n)z^{2n}~.
$$