Sei $\O(\sbe\C)$ ein beschränktes Gebiet mit glattem Rand $\pa\O$ und $F,G:U\rar\C$ seien in einer Umgebung $U$ von $\cl\O$ stetig reell differenzierbar. Leiten Sie aus der reellen Stokesschen Formel:
$$
\int_\O(-\pa_yF+\pa_xG)=\int_{\pa\O}F\,dx+G\,dy
$$
die Stokessche Formel in komplexer Notation ab:
$$
2i\int_{\O}(\pa_{\bar z}f-\pa_zg)\,\l^2(dz)
=\int_{\pa\O}f\,dz+g\,d\bar z~.
$$
Da $dx=\frac12(dz+d\bar z)$, $dy=-\frac12i(dz-d\bar z)$, $\pa_x=\pa_z+\pa_{\bar z}$ und $\pa_y=i(\pa_z-\pa_{\bar z})$, folgt mit $f\colon=F-iG$ und $g\colon=F+iG$:
$$
-\pa_yF+\pa_xG
=-i(\pa_zF-\pa_{\bar z}F)
+(\pa_z+\pa_{\bar z})G
=-i\pa_zg+i\pa_{\bar z}f
$$
und andererseits
$$
F\,dx+G\,dy
=\tfrac12F\,(dz+d\bar z)-\tfrac12iG\,(dz-d\bar z)
=\tfrac12f\,dz+\tfrac12g\,d\bar z~.
$$