Seien $n\in\N$, $a_j\in\R_0^+$, $f(z)=\sum a_jz^j$ in einer Umgebung $U$ von $\cl D$ und $f(1)=1$ sowie $f^\prime(1) < n$. Zeigen Sie, daß die Funktion $g(z)\colon=z^n-f(z)$ auf $\cl D$ genau $n$ Nullstellen besitzt.
Sei $\cl D_{1+r}\sbe U$. Für alle $|z|=1+r$ ist $|g(z)-z^n|=|f(z)|\leq f(1+r)$; andererseits ist $|z^n|=(1+r)^n>1+nr$. Für hinreichend kleine $r > 0$ folgt aus $f^\prime(1) < n$ nach dem Mittelwertsatz: $|f(1+r)-f(1)| < nr$, also insgesamt für hinreichend kleine $r > 0$ und alle $|z|=1+r$: $|g(z)-z^n| < |z^n|$.