Folgern Sie aus der Stokesschen Formel, daß für jedes beschränkte
Gebiet $\O\sbe\C$ mit glattem Rand $\pa\O$ und alle in einer Umgebung von
$\cl\O$ definierten (reell) glatten Funktionen $f,g$:
$$
2i\int_\O f\pa_z\pa_{\bar z}g-g\pa_z\pa_{\bar z}f\,\l(dz)
=\int_{\pa\O}f\pa_zg\,dz+g\pa_{\bar z}f\,d\bar z,
$$
sowie für $f\pa_zf|\pa\O=0$ oder komplex differenzierbare $f$:
$$
\int_\O f\pa_{\bar z}\pa_zf=-\int_\O\pa_{\bar z}f\pa_zf
$$
Setze im Satz von Stokes: $F\colon=f\pa_{z}g$, dann ist $\pa_{\bar z}F=\pa_{\bar z}f\pa_{z}g+f\pa_{\bar z}\pa_{z}g$, also:
$$
2i\int_\O\pa_{\bar z}f\pa_{z}g+f\pa_{\bar z}\pa_{z}g
=\int_{\pa\O}f\pa_{z}g\,dz
$$
und für $G\colon=g\pa_{\bar z}f$ folgt $\pa_{z}G=\pa_{z}g\pa_{\bar z}f+g\pa_{z}\pa_{\bar z}f$ und damit
$$
-2i\int_\O\pa_{z}g\pa_{\bar z}f+g\pa_{z}\pa_{\bar z}f
=\int_{\pa\O}g\pa_{\bar z}f\,d\bar z
$$
Also:
$$
2i\int_\O
f\pa_{\bar z}\pa_{z}g-g\pa_{z}\pa_{\bar z}f
=\int_{\pa\O}f\pa_{z}g\,dz+g\pa_{\bar z}f\,d\bar z
$$
2. Für $g=f$ folgt aus einer dieser Beziehungen:
$$
2i\int_\O\pa_{\bar z}f\pa_{z}f+f\pa_{\bar z}\pa_{z}f
=\int_{\pa\O}f\pa_{z}f\,dz
=0~.
$$