Die Abbildung $G_z:w\mapsto(w-z)/(w-\bar z)$ bildet $H^+\colon=[\Im w>0]$ konform
auf $D$ ab mit $G_z(z)=0$ und $G_z(\R)=\pa D\sm\{1\}$. Ferner ist für $t\in\R$:
$G_z^\prime(t)/2\pi iG_z(w)=\Im(z)/\pi|t-z|^2$.
$|G(w)|$ ist das Verhältnis der Abstände von $w$ und $z$ bzw. $w$ und $\bar z$; dieses ist offensichtlich kleiner als $1$. Umgekehrt besitzt die Gleichung $(w-z)=u(w-\bar z)$ die Lösung $w=(z-u\bar z)/(1-u)$:
$$
w
=\frac{z-u\bar z}{1-u}
=\frac{(z-u\bar z)(1-\bar u)}{|1-u|^2}
=\frac{z-2\Re(z\bar u)+|u|^2\bar z}{|1-u|^2}
$$
Also mit $z=x+iy$: $|1-u|^2\Im w=y(1-|u|^2) > 0$.
2. Sei $w=t\in\R$, dann ist
$$
G_z(t)
=\frac{t-z}{t-\bar z}
=\frac{(t-z)^2}{|t-z|^2}~.
$$
Durchläuft also $t$ die gesamten reellen Zahlen, so durchläuft $G_z(t)$
die Menge $\pa D\sm\{1\}$. Schließlich ist
$$
G_z^\prime(w)=\frac{2i\Im(z)}{(w-\bar z)^2}~.
$$