Die Abbildung $F:w\mapsto e^{i\pi w}$ bildet $S$ konform auf $H^+$ ab und
$F(\Re=0)=(0,\infty)$, $F(\Re=1)=(-\infty,0)$. 2. Bestimmen Sie eine konforme Abbildung $R_z:S\rar D$ mit $R_z(z)=0$.
Sei $w=t+iy$, dann ist $\Im(e^{i\pi w})=\Im(e^{i\pi t-\pi y})=e^{-\pi y}\sin(\pi t) > 0$. Umgekehrt besitzt die Gleichung $e^{i\pi w}=u$ die Lösung $w=-i\pi^{-1}\log u$. Da $\Im u>0$, ist mit $\theta\in(0,\pi)$: $\Re(w)=\Re(-i\log|u|/\pi+\theta/\pi)=\theta/\pi\in(0,1)$.
Für $w=iy$ ist $F(w)=e^{-\pi y}$ und damit $F(i(\infty,-\infty))=(0,\infty)$ und für $w=1+iy$ ist $F(w)=-e^{-\pi y}$ und damit $F(i(-\infty,\infty))=(-\infty,0)$.
2. Die Abbildung $R_z:S\rar D$ ist daher gegeben durch
$$
R_z(w)=G_{F(z)}(F(w))=\frac{e^{i\pi w}-e^{i\pi z}}{e^{i\pi w}-e^{-i\pi z}}
$$