Die Abbildung $F:z\mapsto\frac1{i\pi}\log(iz)$ ist eine konforme Abbildung von $[\Re z > 0]$ auf $S\colon=\{z\in\C:0<\Re z < 1\}$ mit der inversen $w\mapsto-i\exp(i\pi w)$. $F$ bildet $i\R^+$ auf $S_1\colon=\{z\in\C:\Re z=1\}$ und $i\R^-$ auf $S_0\colon=\{z\in\C:\Re z=0\}$ ab.
Sei $x\geq 0$, $z=x+iy$ und $\theta=\arg(z)\in[-\pi/2,\pi/2]$, dann ist
$$
F(z)=-i\log|z|/\pi+(\theta+\pi/2)/\pi
$$
also $\Re F(z)\in[0,1]$ und für $y > 0$: $\Re F(iy)=1$ und $\Re F(-iy)=0$.