Die Funktion $G(z)\colon=i\tan(\pi z/4)$ bildet $S$ konform auf $D\cap[\Im z > 0]$ ab, $S_0$ auf $(-1,1)$ und $S_1$ auf den oberen Halbkreisbogen. Bestimmen Sie für $0 < \theta < 1$ das Bild der Menge $\{z\in S:\Re z=\theta\}$.
Es gilt für $\pi z/4=x+iy$: $0 < x < \pi/4$, $y\in\R$ und
$$
G(z)=i\frac{\tan(x)+i\tanh(y)}{1-i\tan(x)\tanh(y)}
$$
und wegen $0 < x < \pi/4$:
$$
|G(z)|^2=\frac{\sin^2(x)+\sinh^2(y)}{\cos^2(x)+\sinh^2(y)}<1
$$
Für $x=0$ bzw. $x=\pi/4$ folgt:
$$
G(iy)=-\tanh(y)
\quad\mbox{bzw.}\quad
G(1+iy)=i\frac{1+i\tanh(y)}{1-i\tanh(y)}
$$
Ferner für $c\colon=\tan(\theta\pi/4)$ und $t=\tanh(y)\in(-1,1)$: $G(\theta+iy)=i\frac{c+it}{1-ict}$:
\begin{figure}[h!]
\centering
\psset{unit=20mm}
\psset{linewidth=.5pt}
\begin{pspicture}*[showgrid=false](-1.2,-0.1)(1.2,1.2)
\pscircle[linestyle=dashed](0,0){1}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightblue,algebraic]{%
\parametricplot{-1}{1}{t*(1+1/4)/(1+t*t/4),0.5*(1-t*t)/(1+t*t/4)}
\psline(-1,0)(1,0)
}
\end{pspicture}
\caption[Konforme Abbildung 1]{Konforme Abbildung $i\tan(\pi z/4)$
von $[0<\Re z < 1]$ auf $D\cap[\Im z > 0]$}
\label{abb28}
\end{figure}