Sei $0 < r < 1$. Die Abbildung $F(z)=\frac12(z+1/z)$ bildet den Kreisring $\{z\in\C:r < |z| < 1\}$ auf die Ellipse mit den Scheitelpunkten $\pm\frac12(r+1/r)$ und $\pm\frac12i|r-1/r|$ ohne das Intervall $[-1,1]$ ab.
Sei $z=se^{it}$, dann ist
$$
F(z)=\tfrac12(se^{it}+e^{-it}/s)
=\tfrac12((s+1/s)\cos t+i(s-1/s)\sin t)~.
$$
Das Bild des Kreises mit dem Radius $s$ ist also eine Ellipse mit Zentrum $0$ und den Hauptachsen $\frac12(s+1/s)$ und $\frac12|s-1/s|$.