Ersetzen wir im Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes die Funktion $G$ durch $G(z)\colon=\exp(\l g(z))$ mit $\l>0$, so folgt mit $a\colon=G(z_0)$: $|a|=|w|^\l$ und für $H\colon=\vp_a\circ G$ gilt:
$$
|H^\prime(z_0)|=\frac{\l|a|(1-|w|^2)}{|w|(1-|a|^2)}|F^\prime(z_0)|
$$
Zeigen Sie, daß für alle $\l\in(0,1)$ gilt: $|H^\prime(z_0)|>|F^\prime(z_0)|$.
Da $0 < |w| < 1$ und $|a|=|w|^\l$, ist die Ungleichung gleichbedeutend mit:
$$
\forall x,\l\in(0,1):\quad
\l x^{\l-1}(1-x^2)>1-x^{2\l}~.
$$
Seien $f(x)\colon=1-x^{2\l}$ und $g(x)\colon=\l x^{\l-1}(1-x^2)$. Da $g(0) > f(0)$ und $g(1)=f(1)=0$, genügt es zu zeigen, daß $g^\prime(x) < f^\prime(x)$; dies ist aber gleichbedeutend mit der Ungleichung:
$$
\frac{1-\l}2 x^{-1}+\frac{1+\l}2 x\geq x^\l
$$
Nach der Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel ist aber die linke Seite größer als:
$$
(1/x)^{(1-\l)/2}x^{(1+\l)/2}=x^\l~.
$$
2. Setze $x=e^{-t}$, dann ist $\l x^{\l-1}(1-x^2) > 1-x^{2\l}$ äquivalent zu
$\sinh(t) > \sinh(\l t)/\l$.