Sei $f(x)=1/x$. Zeigen Sie:
$$
\pv f(\vp)=-\int\log|x|\vp^\prime(x)\,dx~.
$$
und $\wh f(y)=-i\sqrt{\pi/2}\sign(y)$.
Nach partieller Integration folgt für alle $r > 0$:
$$
\int_{|x| > r}\frac{\vp(x)}x\,dx
=\vp(x)\log|x||_r^\infty-\int_r^\infty\log|x|\vp^\prime(x)\,dx
+\vp(x)\log|x||_{-\infty}^{-r}-\int_{-\infty}^{-r}\log|x|\vp^\prime(x)\,dx
$$
Nun ist $\lim_{r\dar0}(\vp(r)-\vp(-r))\log r=0$ und damit:
\begin{eqnarray*}
\pv x^{-1}(\vp)
&=&\lim_{r\dar0}
-\int_r^\infty\log|x|\vp^\prime(x)\,dx
-\int_{-\infty}^{-r}\log|x|\vp^\prime(x)\,dx\\
&=&-\int\log|x|\vp^\prime(x)\,dx
\end{eqnarray*}