Für welche $a > 1$ existiert $\pv f$ mit $f(x)=|x|^{-a}\sign(x)$?
Eine Stammfunktion der anti-symmetrischen Funktion $f$ auf $\R\sm\{0\}$ ist die symmetrische Funktion $|x|^{1-a}/(1-a)$, also folgt nach partieller Integration für alle $r > 0$:
$$
\int_{|x| > r}\vp(x)|x|^{-a}\sign(x)\,dx
=\frac1{1-a}\Big(\vp(x)|x|^{1-a}|_r^\infty-\int_r^\infty|x|^{1-a}\vp^\prime(x)\,dx
+\vp(x)|x|^{1-a}|_{-\infty}^{-r}-\int_{-\infty}^{-r}|x|^{1-a}\vp^\prime(x)\,dx
$$
Nun ist für $a < 2$: $\lim_{r\dar0}(-\vp(r)+\vp(-r))r^{1-a}=0$ und damit:
\begin{eqnarray*}
\pv f(\vp)
&=&\lim_{r\dar0}
-\frac1{1-a}\int_r^\infty|x|^{1-a}\vp^\prime(x)\,dx
-\frac1{1-a}\int_{-\infty}^{-r}|x|^{1-a}\vp^\prime(x)\,dx\\
&=&\frac1{a-1}\int|x|^{1-a}\vp^\prime(x)\,dx
\end{eqnarray*}
Für $a=2$ existiert zwar $\lim_{r\dar0}(-\vp(r)+\vp(-r))r^{1-a}=\vp^\prime(0)$, aber der Cauchysche Hauptwert
$$
\pv\int_\R|x|^{-1}\vp(x)\,dx
$$
existiert nicht für alle $\vp$.