Seien $z_2,z_3,z_4\in\bar\C$ und $w_2,w_3,w_4\in\bar\C$ jeweils paarweise verschieden. Zeigen Sie, daß es eine Möbius-Transformationen $\vp$ gibt, so daß für alle $j\in\{2,3,4\}$: $\vp(z_j)=w_j$.
Seien $\vp_1$ bzw. $\vp_2$ die Möbius-Transformationen
$$
\vp_1(z)\colon=(z,z_2;z_3,z_4)
\quad\mbox{bzw.}\quad
\vp_2(w)\colon=(w,w_2;w_3,w_4)
$$
Dann bildet $\vp_1$ die Punkte $z_1,z_2,z_3$ auf die Punkte $1,0,\infty$ ab und $\vp_2$ bildet die Punkte $w_1,w_2,w_3$ gleichfalls auf die Punkte $1,0,\infty$ ab. Daher ist die $\vp_2\circ\vp_1^{-1}$ eine geeignete Möbius Transformation.