1. Bestimmen Sie die Menge aller Möbius-Transformationen $\vp$ mit $\vp\circ\vp=id$.
2. Wann gibt es ein $n\in\N$, so daß die $n$-fache Komposition $\vp\circ\cdots\circ\vp$ mit der identischen Abbildung übereinstimmt?
3. Wann sind zwei Möbius-Trans\-formationen miteinander vertauschbar?
2. Sei $A=(a_{jk})\in\Sl(2,\C)$ mit der Spur $2\t$; dann besitzt $A$ die Eigenwerte $\l_1=\t+\sqrt{\t^2-1}$ und $\l_2=\t-\sqrt{\t^2-1}$. Somit gilt $A^n=1$ genau dann, wenn $\l_1$ und $\l_2$ $n$-te Einheitswurzeln sind, also mit $w=e^{2\pi i/n}$:
$$
\t+\sqrt{\t^2-1}=w^k
\quad\mbox{und}\quad
\t-\sqrt{\t^2-1}=w^l
$$
mit $k,l\in\{0,\ldots,n-1\}$. Es folgt: $\t=(w^k+w^l)/2$ und $\t^2-1=(w^k-w^l)^2/4$, also genau dann, wenn $w^{k+l}=1$, i.e. $l=n-k$ und damit: $\t=(w^k+w^{-k})/2=\cos(2\pi k/n)$.