Zu $a\in\R^{n+1}$, $a\neq0$, $\norm a < 1$, seien $P_a$ bzw. $Q_a$ die orthogonalen Projektionen auf $[a]$ bzw. $[a]^\perp$, i.e. $$ P_a(x)\colon=\la x,a\ra\norm a^{-2} a,\quad Q_a(x)\colon=x-P_a(x)~. $$ Ferner sei $$ M_a(x)\colon=\frac{a-P_a(x)-\sqrt{1-\norm a^2}Q_a(x)}{1-\la x,a\ra} $$ Dann gilt:
  1. $M_a(a)=0$ und $M_a(0)=a$.
  2. $M_a:B_2^{n+1}\rar B_2^{n+1}$ und $M_a:S^n\rar S^n$.
  3. Ist $U:\R^{n+1}\rar\R^{n+1}$ eine orthogonale Transformation, so gilt: $P_a\circ U=U\circ P_{U^*(a)}$ und damit: $M_a\circ U=U\circ M_{U^*(a)}$.
  4. Berechnen Sie $M_a^{-1}:B_2^{n+1}\rar B_2^{n+1}$.
  5. Zeigen Sie (Lösungsvorschlag): $$ |\det D M_a(x)|=\Bigg(\frac{\sqrt{1-\norm a^2}}{|1-\la x,a\ra|}\Bigg)^{n+1}~. $$
2. Wegen $\norm{P_a(x)}^2+\norm{Q_a(x)}^2=\norm x^2$ und $\la P_a(x),a\ra=\la x,a\ra$ gilt: \begin{eqnarray*} \norm{M_a(x)}^2(1-\la a,x\ra)^2 &=&\norm{a-P_a(x)}^2+(1-\norm a^2)\norm{Q_a(x)}^2\\ &=&\norm a^2-2\la P_a(x),a\ra+\norm{P_a(x)}^2\\ &&+\norm{Q_a(x)}^2-\norm a^2\norm{Q_a(x)}^2\\ &=&\norm a^2-2\la P_a(x),a\ra+\norm x^2\\ &&-\norm a^2(\norm x^2-\norm{P_a(x)}^2)\\ &=&\norm a^2-2\la x,a\ra+\norm x^2-\norm a^2\norm x^2+\la x,a\ra^2\\ &=&(1-\la a,x\ra)^2-(1-\norm x^2)(1-\norm a^2)~. \end{eqnarray*} 5. Die Funktion $$ F(x)\colon=M_a(x)(1-\la x,a\ra)= a-P_a(x)-\sqrt{1-\norm a^2}Q_a(x) $$ besitzt die Ableitung $$ DF(x)u=-P_au-\sqrt{1-\norm a^2}Q_au $$ Nun ist $DF(x)u=(1-\la x,a\ra)DM_a(x)u-\la a,u\ra M_a(x)$, also: \begin{eqnarray*} (1-\la x,a\ra)DM_a(x)u &=&DF(x)u+\la a,u\ra M_a(x)\\ &=&-P_au-\sqrt{1-\norm a^2}Q_au+\la a,u\ra M_a(x) \end{eqnarray*}