Für welche $n\in\N$, $n\geq2$, existiert der Cauchysche Hauptwert
$$
\pv\int_\R\frac{e^{ixy}}{(1-x)^n}\,dx?
$$
Sei $\g_r(t)=1+re^{it}$, $t\in[0,\pi)$; dann folgt nach dem Cauchyschen Integralsatz:
$$
\pv\int_\R\frac{e^{ixy}}{(1-x)^n}\,dx
=\lim_{r\dar0}\int_{\g_r}\frac{e^{izy}}{(1-z)^n}\,dz
=i\lim_{r\dar0}r^{-n+1}\int_0^\pi e^{iy+iyre^{it}-i(n-1)t}\,dt
=ie^{iy}\lim_{r\dar0}r^{-n+1}\int_0^\pi e^{-i(n-1)t}\,dt
$$
Für das Integral erhalten wir:
$$
\frac{i}{n-1}((-1)^{n-1}-1)~.
$$
Damit existiert der Cauchysche Hauptwert für alle ungeraden $n\geq3$ und es gilt:
$$
\pv\int_\R\frac{e^{ixy}}{(1-x)^n}\,dx=0
$$
Also: der Cauchysche Hauptwert erweist sich i.W. nur für $n=1$ sinnvoll.