Sei $f$ eine in einer offenen Umgebung $U$ der abgeschlossenen Kreisscheibe $\cl D$ komplex differenzierbare, komplexwertige Funktion, so daß $z\mapsto|f(z)|$ auf $\pa D$ konstant und von $0$ verschieden ist. Zeigen Sie, daß $f$ eine rationale Funktion ist, die auf $D$ eine Nullstelle besitzt.
Sei o.B.d.A. $|f(z)|=1$ für alle $|z|=1$. Sind $z_1,\ldots,z_n$ die in
ihrer Vielfachheit aufgelisteten Nullstellen
von $f$ auf $\cl D$, dann ist
$$
g(z)\colon=f(z)/\prod_{j=1}^n\vp_{z_j}(z)
$$
eine in einer Umgebung von $\cl D$ analytische, nullstellenfreie Funktion,
so daß für alle $|z|=1$: $|g(z)|=1$. Nach dem Maximumprinzip folgt
dann für alle $z\in D$: $|g(z)|\leq1$ und $|1/g(z)|\leq1$, also:
$|g(z)|=1$ und damit ist $g$ konstant.