Sei $x_1,\ldots, x_n$ eine endliche Folge in dem reellen Hilbertraum $E$ und
$$
G(x_1,\ldots,x_n)\colon=\det(\la x_j,x_k\ra)
$$
die Gramsche Determinante. Seien $x_1,\ldots,x_n$ linear unabhängig und $F=[x_1,\ldots,x_n]$ der von $x_1,\ldots,x_n$ aufgespannte Unterraum, dann gilt:
$$
d(x,F)=\sqrt{G(x,x_1,\ldots,x_n)/G(x_1,\ldots,x_n)}~.
$$
Sei o.B.d.A. $E$ von $x$ und $F$ erzeugt, also o.B.d.A. $E=\R^{n+1}$
mit dem kanonischen inneren Produkt. Bezeichnen wir mit $V(x_1,\ldots,x_n)$ das
$n$-dimensionale Volumen, des von $x_1,\ldots,x_n$ erzeugten Parallelotops,
so gilt:
$$
V(x_1,\ldots,x_n)^2
=|\det(x_1,\ldots,x_n)\det(x_1,\ldots,x_n)^*|
=G(x_1,\ldots,x_n)
$$
Da $V(x,x_1,\ldots,x_n)=d(x,F)V(x_1,\ldots,x_n)$, folgt die Behauptung.