Exam

Seien $x_j,y_j > 0$, $1\leq j\leq n$. Zeigen Sie: $$ \det\left(\frac1{x_j+y_k}\right)= \frac{\prod_{j < k}(x_j-x_k)(y_j-y_k)}{\prod_{j,k}(x_j+y_k)}~. $$ wobei $\prod_\emptyset\colon=1$.

Multiplizieren wir die $j$-te Zeile mit $p_j\colon=\prod_k(x_j+y_k)$, so ist diese Determinante $D$ ein Polynom in $x,y$ des Grades $(n-1)n$, denn jeder Eintrag ist ein Polynom des Grades $n-1$. Da $D$ verschwindet, wenn zwei verschiedene Indices $j,k$ existieren, so daß entweder $x_j=x_k$ oder $y_j=y_k$, muß $P\colon=\prod_{j < k}(x_j-x_k)\prod_{j < k}(y_j-y_k)$ ein Faktor von $D$ sein; nun ist aber $\deg P=n(n-1)=\deg D$, also folgt: $D=\l P$.
Zur Bestimmung von $\l$ berechnen wir die Koeffizienten des monischen Polynoms $x_1^{n-1}x_2^{n-2}\cdots x_{n-1}y_1^{n-1}y_2^{n-2}\cdots y_{n-1}$ in $D$ bzw. $P$. Sowohl in $P$ als auch in $D$ -- in $D$ erhält man ein solches Polynom nur dann, wenn man die Diagonalelemente multipliziert -- ist dieser Koeffizient aber $1$, also $\l=1$.