Seien $\a_n>0$, $f_n(t)=e^{-\a_nt}$, $F_n\colon=[f_j;j\leq n]\sbe L_p(\R^+)$.
Zeigen Sie: falls $\sum1/\a_n=\infty$, dann ist $F\colon=\bigcup F_n$ für
alle $1\leq p < \infty$ ein dichter Unterraum von $L_p(\R^+)$.
Sei $g\in L_q(\R^+)$ mit $\norm g_q=1$, so daß für alle $f\in F$:
$\int fg=0$. Definiere für $\Re z>0$: $u(z)\colon=\int e^{-zt}g(t)\,dt$, so ist
$u$ beschränkt ($|u(z)|\leq1$) und analytisch auf $\Re z>0$ und folglich ist
$\wt u(z)\colon=u((1+z)/(1-z))$ beschränkt und analytisch auf $D$ mit den
Nullstellen $z_n=1-2/(1+\a_n)$. Somit ist $u=0$, d.h. die Laplace-Transformierte
von $g$ verschwindet, was nur dann möglich ist, wenn $g=0$ ist.