Sei $X=\R^n$ und $\norm{.}_0$ bzw. $\norm{.}_1$ zwei Normen auf $\R^n$
mit den Einheitskugeln $B_0$ bzw. $B_1$. Bezeichnet $B_+\colon=\convex(B_0,B_1)$
die konvexe Hülle von $B_0$ und $B_1$, so ist $B_+$ die Einheitskugel der
Norm $\norm{x}_+\colon=\inf\{\norm y_0+\norm z_1:\,x=y+z\}$.
Ist $x=(1-t)y+tz\in B_+$ mit $y\in B_0$ nd $z\in B_1$, so folgt: $\norm x_+\leq1-t+t=1$. Andererseits folgt aus $x=y+z$ und $1>\norm x_+=\norm y_0+\norm z_1$ mit $a\colon=\norm y_0$ und $b\colon=\norm y_1$:
$$
x=a(y/a)+b(z/b)
=(a+b)\Big(\frac{a}{a+b}(y/a)+\frac{b}{a+b}(z/b)\Big)
\in\convex(B_0,B_1)
$$