Sei $(\O,\F,\mu)$ ein $\s$-endlicher Maßraum. Zeigen Sie, daß für alle $p\in[1,\infty]$ gilt: $L_p(\mu)\sbe L_1(\mu)+L_\infty(\mu)$.
Sei $f\in L_p(\mu)$, $t>0$ und $f_t\colon=fI_{|f|>t}$, dann ist mit $1/p+1/q=1$ nach der Hölder-Ungleichung:
$$
\int|f_t|\,d\mu
=\int |f|I_{[|f|>t]}\,d\mu
\leq\norm f_p\mu(|f|>t)^{1/q}
$$
Nach der Chebychev-Ungleichung ist aber $\mu(|f|>t)\leq t^{-p}\norm f_p^p$, also: $\norm{f_t}_1\leq\norm f_p^{1+p/q}t^{-p/q}$. Daher ist $L_p(\mu)\sbe L_1(\mu)+L_\infty(\mu)$.