Ein normierter Raum $(X,\norm.)$ ist genau dann ein Banachraum, wenn aus $\sum\norm{x_n} < \infty$ folgt: $\sum x_n$ konvergiert in $X$ (anders ausgedrückt: wenn jede absolut summierbare Folge summierbar ist).
Aus $\sum\norm{x_n} < \infty$ folgt, daß $\sum_{j\leq n}x_j$ eine Cauchyfolge
ist. Ist umgekehrt $x_n$ eine Cauchyfolge, so gibt es eine Teilfolge
$x_{n(k)}$, so daß für alle $k$: $\tnorm{x_{n(k+1)}-x_{n(k)}} < 2^{-k}$;
setzen wir $z_k\colon=x_{n(k+1)}-x_{n(k)}$, so konvergiert
$x_{n(k+1)}-x_{n(1)}=\sum_{j\leq k}z_j$, i.e. $x_n$ besitzt eine konvergente
Teilfolge; da $x_n$ eine Cauchyfolge ist, muß $x_n$ selbst konvergieren.