Sei $X$ ein Banachraum und $Y$ ein abgeschlossener Unterraum von $X$. Zeigen
Sie, daß $X/Y$ mit $\norm{[x]}\colon=\inf\{\norm{x+y}:y\in Y\}$ ein
Banachraum ist und daß die Quotientenabbildung $Q:x\mapsto[x]$ die
offene Einheitskugel von $X$ auf die offene Einheitskugel von $X/Y$ abbildet.
2. Ist $X$ ein Hilbertraum, so ist $X/Y$ isometrisch isomorph zu dem Unterraum
$Y^\bot$ von $X$.
3. Die stetigen linearen Funktionale auf $X/Y$ sind genau jene $x^*\in X^*$
für die gilt: $x^*|Y=0$ -- man kann also den Dualraum von $X/Y$ mit dem
Unterraum $Y^\bot\colon=\{x^*\in X^*: x^*|Y=0\}$ identifizieren.
4. Ist $A:X\rar Z$ ein stetiger linearer Operator in einen Banachraum $Z$,
so gibt es genau dann einen stetigen linearen Operator $\wh A:X/Y\rar Z$,
mit $A=\wh A\circ Q$, wenn $A|Y=0$.
1. Sei $x\in X$, dann ist $\norm{[x]}$ der Abstand des Punktes $x$ von
dem Unterraum $Y$, also folgt aus $\norm{[x]}=0$: $x\in Y$.
Ist $\norm x < 1$, so folgt: $\norm{Q(x)}=\norm{[x]} < 1$. Umgekehrt folgt
aus $\norm{[x]} < 1$, daß es ein $y\in Y$ gibt, so daß $\norm{x+y} < 1$;
da $Q(x+y)=Q(x)$, ist $Q:B_X\rar B_{X/Y}$ surjektiv.
Sei $\sum\norm{[x_n]}<\infty$, dann gibt es $y_n\in Y$, so daß
$\sum\norm{x_n+y_n}<\infty$; folglich konvergiert $\sum x_n+y_n$ in $X$
gegen $x\in X$ und damit konvergiert $\sum[x_n]=Q(\sum x_n)$ gegen $Q(x)$.
3. Ist $f:X/Y\rar\C$ stetig und linear, dann ist $x^*\colon=f\circ Q$
ein stetiges lineares Funktional auf $X$ mit $x^*|Y=0$. Umgekehrt gibt
es zu jedem $x^*\in X^*$ mit $x^*|Y=0$ ein lineares Funktional $f:X/Y\rar\C$
mit $x^*=f\circ Q$; da $f(B_{X/Y})=f(Q(B_X))=x^*(B_X)$, ist $f$ stetig.