Sei $X=\R^3$ und $Y$ der von $N\colon=(1,1,1)$ erzeugte Unterraum,
$Z\colon=Y^\perp$ und $P$ die orthogonale Projektion von $\R^3$ auf $Z$.
Bestimmen Sie die Mengen $P(B_1^3)$, $P(B_2^3)$ und $P(B_\infty^3)$,
wobei $B_p^n\colon=\{x\in\R^n:\sum|x_j|^p<1\}$. Folgern Sie, daß
$\ell_1^3/Y$ und $\ell_\infty^3/Y$ isometrisch isomorph sind.
Sei $b_1,b_2,b_3$ die kanonische orthonormale Basis von $\R^3$.
Da z.B. $e_1=(1,-1,0)/\sqrt2$ und $e_2=(-1,-1,2)/\sqrt6$ eine orthonormale
Basis von $Z$ ist, folgt:
$$
Px=\la x,e_1\ra e_1+\la x,e_2\ra e_2
$$
1. $P$ bildet die kanonische Basis $b_1,b_2,b_3$ von $\R^3$ ab auf
die Vektoren
$$
\tfrac1{\sqrt2}e_1-\tfrac1{\sqrt6}e_2,
-\tfrac1{\sqrt2}e_1-\tfrac1{\sqrt6}e_2,
\tfrac2{\sqrt6}e_2~.
$$
also ist $P(B_1^3)$ ein Hexagon.
2. $P(B_2^3)$ ist eine Ellipse.
3. Da $(1,1,-1)=N-2b_3$, $(1,-1,1)=N-2b_2$
und $(-1,1,1)=N-2b_1$ folgt: $P(B_\infty^3)=2P(B_1^3)$.