Ist $(X_0,X_1)$ ein kompatibles Paar von Banachräumen, so sind $(X_-,\norm._-)$ und $(X_+,\norm._+)$ Banachräume.
Zunächst ist $\norm{.}_+$ eine Norm, denn falls $\norm x_+=0$, dann gibt
es Nullfolgen $y_n\in X_0$ und $z_n\in X_1$,
so daß $x=y_n+z_n$. Da $X_0$ und $X_1$ Unterräume eines topologischen
Vektorraumes sind, ist $y_n+z_n$ eine Nullfolge in diesem Raum und somit folgt:
$x=0$.
$X_-$ ist vollständig:
Ist $x_n$ eine Cauchyfolge in $(X_-,\norm._-)$, so ist $x_n$ sowohl in
$X_0$ als auch in $X_1$ eine Cauchyfolge; also konvergiert $x_n$ in $X_0$
und in $X_1$ gegen $x$, i.e. $x\in X_-$.
$X_+$ ist vollständig:
Ist $x_n$ eine Folge in $(X_+,\norm._+)$, so daß $\sum\norm{x_n}<\infty$
und $x_n=y_n+z_n$, so daß: $\norm{y_n}_0+\norm{z_n}_1\leq\norm{x_n}+2^{-n}$.
Dann folgt $\sum\norm{y_n}_0<\infty$ und $\sum\norm{z_n}_1<\infty$, also
konvergiert $\sum y_n$ in $X_0$ gegen $y$ und $\sum z_n$ in $X_1$ gegen $z$. Da
$$
\Big\Vert\sum_{j\leq n}x_j-(y+z)\Big\Vert
\leq\Big\Vert\sum_{j\leq n}y_j-y\Big\Vert_0
+\Big\Vert\sum_{j\leq n}z_j-z\Big\Vert_1
$$
konvergiert $\sum x_n$ gegen $y+z$.