Sei $E$ ein Hilbertraum $A:\dom(A)\rar E$ ein linearer Operator und $\dom(A)$ ein dichter Unterraum mit folgenden Eigenschaften: für alle $x,y\in\dom(A)$ gilt: $\la Ax,y\ra=\la x,Ay\ra$ und $x\in\dom(A)$ genau dann, wenn $y\mapsto\la x,Ay\ra$ auf $\dom(A)$ stetig ist -- man nennt $A$ einen selbstadjungierter Operator auf $E$. Zeigen Sie, daß ein selbsadjungierter Operator abgeschlossen ist.
Sei $x_n$ eine Folge in $\dom(A)$, so daß $x_n$ bzw. $Ax_n$ in $E$ gegen $x$ bzw. $z$ konvergieren. Dann ist für alle $y\in\dom(A)$: $$ \la z,y\ra =\lim_n\la Ax_n,y\ra =\lim_n\la x_n,Ay\ra =\la x,Ay\ra $$ i.e. $x\in\dom(A)$ und $z=Ax$, also ist $A$ abgeschlossen.