Sei $A$ ein positiver, selbstadjungierter Operator auf dem Hilbertraum $(E,\la.,.\ra)$ - d.h. für alle $x\in\dom(A)$ gilt: $\la Ax,x\ra\geq0$. Seien ferner $s\in\R$ und $X\colon=\bigcap_{s > 0}\dom(A^s)$. Für $x\in X$ sei $\norm x_s\colon=\tnorm{(1+A)^{s/2}x}$ und $H_s(A)$ die Vervollständigung von $X$ bezüglich der Norm $\norm{.}_s$ (da $X$ in $(\dom(A^{s/2}),\norm{.}_s)$ dicht ist, folgt, daß der Raum $H_s(A)$ mit dem Raum $(\dom(A^{s/2}),\norm{.}_s)$ übereinstimmt). $H^s(A)$ heißt der Sobolevraum Ordnung $s$ von $A$. Zeigen Sie: $H^s(A)^*=H_{-s}(A)$, d.h. zu jedem stetigen linearen Funktional $x^*$ auf $H^s(A)$ gibt es genau ein $y\in H_{-s}(A)$, so daß für alle $x\in H^s(A)$: $x^*(x)=\la x,y\ra$ und $\norm{x^*}=\norm y_{-s}$.
Sei $x^*\in H^s(A)^*$, dann gibt es ein $z\in H^s(A)$, so daß für alle $x\in X$: $x^*(x)=\la(1+A)^{s/2}x,(1+A)^{s/2}z\ra$, also gilt $z\in\dom(1+A)^s$ und $x^*(x)=\la x,(1+A)^sz\ra$; setzen wir $y\colon=(1+A)^sz$, so folgt: $\norm y_{-s}=\tnorm{(1+A)^{s/2}x}=\norm{x^*}$.