Seien $X_0,X_1$ bzw. $Y_0,Y_1$ kompatible Banachräume mit den Normen
$\norm{.}_0^X$, $\norm{.}_1^X$ bzw. $\norm{.}_0^Y$ und $\norm{.}_1^Y$.
Ist dann $A:\cl S\rar L(X_+,Y_+)$ beschränkt, stetig
und auf $S$ analytisch, so daß
\begin{eqnarray*}
&&\sup\{\norm{A(it):X_0\rar Y_0}:t\in\R\}\leq M_0\\
&&\sup\{\norm{A(1+it):X_1\rar Y_1}:t\in\R\}\leq M_1~.
\end{eqnarray*}
Dann gilt für alle $\theta\in[0,1]$:
$\norm{A(\theta):X_\theta\rar Y_\theta}\leq M_0^{1-\theta}M_1^\theta$.
Ersetzen wir $A(z)$ durch $M_0^{z-1}M_1^{-z}A(z)$, so können wir
o.B.d.A. annehmen, daß $M_0=M_1=1$. Sei nun $F\in{\cal F}(X_0,X_1)$
mit $F(\theta)=x$, dann
ist $G(z)=A(z)F(z)$ auf $\cl S$ stetig und beschränkt und auf $S$
analytisch mit Werten in $Y_+$ und $G(\theta)=A(\theta)x$.
Ferner gilt nach Voraussetzung für alle $t\in\R$:
$$
\norm{G(it)}_0^Y\leq\norm{F(it)}_0^X
\quad\mbox{und}\quad
\norm{G(1+it)}_1^Y\leq\norm{F(1+it)}_1^X
$$
und somit gilt $\norm{A(\theta)x}_\theta\leq\norm F_\F$, also:
$\norm{A(\theta)x}_\theta\leq\norm x_\theta$.