Sei $X_0$ oder $X_1$ reflexiv und $f:X_-\times S\rar\R$ die Funktion
$f(x,z)\colon=\norm x_z$. Zeigen Sie:
$$
\forall x,y\in X_-:\qquad
\norm x_z\leq\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\tnorm{x+e^{it}y}_{z+e^{it}w}\,dt
$$
Hinweis: benutzen Sie das voranstehende Beispiel.
Sei $G\in\F(X_0^*,X_1^*)$ mit $\norm{G}_\F\leq1$, dann ist
$\z\mapsto G(z+\z w)(x+\z y)$ analytisch
(wo immer sie definiert ist), also folgt:
$$
\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\norm{x+e^{it}y}_{z+e^{it}w}\,dt
\geq\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi|G(z+e^{it}w)(x+e^{it}y)|\,dt
\geq|G(z)(x)|~.
$$
Da $\sup\{|G(z)(x)|:\norm{G}_\F\leq1\}
=\sup\{|x^*(x)|:\norm{x^*}_z^*\leq1\}
=\norm x_z$,
folgt die Behauptung.