Sei $\L$ die von Mangoldt-Funktion. Zeigen Sie:
$$
\sum_{m|n}\L(m)=\log n~.
$$
2. Ist $\psi(x)\colon=\sum_{n\leq x}\L(n)$ und $F(x)\colon=\sum_{m=1}^\infty\psi(x/m)$, so gilt für alle $n\geq2$:
$$
\forall n\geq2:\quad
F(n)-F(n-1)=\sum_{m|n}\sum_\L(m)=\log n
\quad\mbox{und}\quad
F(n)=\log(n!)~.
$$
Sei $n=p_1^{k_1}\cdots p_l^{k_l}$ die Primfaktorzerlegung von $n$; ist
$m$ ein Teiler von $n$, so ist $\L(m)$ nur dann von $0$ verschieden, wenn
$m=p_j^{a_j}$ für ein $j\in\{1,\ldots,l\}$ und ein $a_j\in\{1,\ldots,k_j\}$,
also
$$
\sum_{m|n}\L(m)
=\sum_{j=1}^l\sum_{a_j=1}^{k_j}\log p_j
=\sum_{j=1}^l k_j\log p_j
=\log n~.
$$
2. Da $\psi(n/m)-\psi((n-1)/m)$ verschwindet, wenn $n/m\notin\N$ und
gleich $\L(n/m)$ ist, wenn $m|n$, folgt:
$$
F(n)-F(n-1)
=\sum_{m|n}\L(n/m)
=\sum_{m|n}\L(m)
=\log n~.
$$
Schließlich ist $F(1)=\psi(1)=0=\log1$.