Zeigen Sie mithilfe der Darstellung
$$
\z(z)=-\frac{\G(1-z)}{2\pi i}\int_{h}\frac{(-w)^{z-1}}{e^w-1}\,dw
$$
daß $\z(z)-(z-1)^{-1}$ eine ganze Funktion ist mit: $\z(0)=-1/2$.
Nach der Funktionalgleichung der Gammafunktion gilt $(1-z)\G(1-z)=\G(2-z)$, also
$$
\lim_{z\to1}\z(z)(z-1)
=\frac1{2\pi i}\int_{h}\frac1{e^w-1}\,dw
=1~.
$$
2. Nach der Riemannschen Funktionalgleichung ist wegen $\G(1/2)=\pi^{1/2}$:
$$
\z(0)=\lim_{z\to0}\frac{\z(1-z)}{\G(z/2)}
$$
Da $\G(z/2)\sim2/z$ und nach 1. $\z(1-z)\sim-1/z$, folgt:
$$
\z(0)
=\lim_{z\to0}\frac{-1/z}{2/z}
=-1/2~.
$$