Zeigen Sie mithilfe der Funktionalgleichung: $\z^\prime(0)/\z(0)=\log(2\pi)$.
Nach der Funktionalgleichung für die Zetafunktion erhalten wir:
\begin{eqnarray*}
\log\z(z)
&=&z\log2+\log\sin(\pi z/2)+\log\G(1-z)+(z-1)\log\pi+\log\z(1-z)\\
\frac{\z^\prime(z)}{\z(z)}
&=&\log(2\pi)+\frac{\pi}{2\tan(\pi z/2)}-\frac{\G^\prime(1-z)}{\G(1-z)}
-\frac{\z^\prime(1-z)}{\z(1-z)}
\end{eqnarray*}
Die Behauptung folgt nun aus $\G^\prime(1)/\G(1)=\g$ und
$$
\lim_{z\to0}\Big(\frac{\z^\prime(1-z)}{\z(1-z)}-\frac1z\Big)=\g,\quad
\lim_{z\to0}\Big(\frac{\pi}{2\tan(\pi z/2)}-\frac1z\Big)=0
$$