Sei $a > 0$. Zeigen Sie, daß die durch $F(z)=\int_\R e^{-a(t+z)^2}\,dt$,
definierte Funktion $F:\C\rar\C$ konstant ist, d.h. $F^\prime(z)=0$. Hinweis: Für $z=x+iy$ ist $e^z=e^x(\cos y+i\sin y)$; zeigen Sie damit, daß die Ableitung von $z\mapsto e^{-a(t+z)^2}$ gegeben ist durch $-2a(t+z)e^{-a(t+z)^2}$ und daß sie mit der Ableitung von $t\mapsto e^{-a(t+z)^2}$ übereinstimmt!
Zunächst ist für $z=x+iy$:
$$
|e^{-a(t+z)^2}|
=e^{-a(t+x)^2+ay^2}
$$
und damit ist $t\mapsto e^{-a(t+z)^2}$ mit all seinen Ableitungen (nach $z$) integrierbar (über $t\in\R$). Ferner ist
$$
F^\prime(z)
=\int_\R -2a(t+z)e^{-a(t+z)^2}\,dt
=\int_\R\pa_te^{-a(t+z)^2}\,dt
=0~.
$$
Da $\C$ zusammenhängend ist, muß $F$ konstant sein.