Für alle $n\in\N$ und alle $\Re z > 0$ sei $$ \G_n(z)\colon=\int_0^n t^{z-1}\Big(1-\frac tn\Big)^n\,dt =n^z\int_0^1 t^{z-1}(1-t)^n\,dt~. $$
  1. Zeigen Sie mittels mehrfacher partieller Integration, daß für alle $\Re z > 0$: $$ \G_n(z)=\frac{n^zn!}{z(z+1)\cdots(z+n)} \quad\mbox{und}\quad \frac1{\G_n(z)} =ze^{\g_n z}\prod_{j=1}^n\Big(1+\frac zj\Big)e^{-z/j}~. $$ wobei $\g_n\colon=1+1/2+\cdots+1/n-\log n$ und $\lim_n\g_n=\g\sim0.57721$ die Eulersche Konstante bezeichnen.
  2. Die Funktionenfolge $1/\G_n$ konvergiert auf $\C$ kompakt und stimmt auf $\Re z > 0$ mit $1/\G$ überein - damit ist die Funktion $1/\G$ stetig; wir werden später sehen, daß $1/\G$ eine ganze Funktion ist!
  3. Definieren wir $1/\G$ durch $\lim_n1/\G_n$, so besitzt $1/\G:\C\rar\C$ nur die Nullstellen $0,-1,-2,-3,\ldots$.
Da für alle $0 < t < n$: $|t^{z-1}(1-t/n)^n|\leq t^{\Re z-1}e^{-t}$ konvergiert $\G_n(z)$ für $\Re z > 0$ nach dem Satz von der dominierten Konvergenz gegen $\G(z)$. Mittels partieller Integration erhalten wir weiters für alle $k=0,\ldots,n-1$: $$ \int_0^1 t^{z+k-1}(1-t)^{n-k}\,dt =\frac{n-k}{z+k}\int_0^1 t^{z+k}(1-t)^{n-k-1}\,dt~. $$ Aus $\int_0^1 t^{z+n-1}\,dt=1/(z+n)$, folgt dann $$ \G_n(z)=n^z\frac{n(n-1)\cdots1}{z(z+1)\cdots(z+n-1)}\frac1{z+n}~. $$ Nach Definition von $\g_n$ erhalten wir $$ 1/\G_n(z) =ze^{-z\log n}\prod_{j=1}^n(1+z/j) =ze^{z\g_n}\prod_{j=1}^n(1+z/j)e^{-z/j} $$ und das Produkt konvergiert kompakt auf $\C$ nach Beispiel gegen eine stetige Funktion, die nur die Nullstellen $0,-1,-2,-3,\ldots$ besitzt.