In höheren Dimensionen - d.h. $n\geq3$ - gibt es außer den Isometrien und den Homothetien i.W. nur eine konforme Abbildung: die Inversion $I:E\sm\{0\}\rar E\sm\{0\}$, $I(x)\colon=x/\Vert x\Vert$. Zeigen Sie: in jedem reellen Hilbertraum $E$ ist $I$ konform.
Sei $h(t)=1/t$, dann ist $I(x)=xh(\la x,x\ra)$ und damit nach exam sowie der Produkt- und Kettenregel für alle $v\in E$ :
$$
DI(x)v
=vh(\la x,x\ra)+xh^\prime(\la x,x\ra)2\la x,v\ra
=\frac{v-2x\la x,v\ra/\Vert x\Vert^2}{\Vert x\Vert^{2}}~.
$$
Die Abbildung $v\mapsto v-2x\la x,v\ra/\Vert x\Vert^{2}$ ist die Reflexion an dem
zu $x$ orthogonalen Unterraum, also eine Isometrie. Es folgt:
$$
DI(x)^*DI(x)=\Vert x\Vert^{-4}\,id_E~.
$$