Für alle n∈N und alle ℜz>0 sei Γn(z):=∫0ntz−1(1−tn)ndt=nz∫01tz−1(1−t)ndt .
  1. Zeigen Sie mittels mehrfacher partieller Integration, daß für alle ℜz>0: Γn(z)=nzn!z(z+1)⋯(z+n)und1Γn(z)=zeγnz∏j=1n(1+zj)e−z/j . wobei γn:=1+1/2+⋯+1/n−log⁡n und limnγn=γ∼0.57721 die Eulersche Konstante bezeichnen.
  2. Die Funktionenfolge 1/Γn konvergiert auf C kompakt und stimmt auf ℜz>0 mit 1/Γ überein - damit ist die Funktion 1/Γ stetig; wir werden später sehen, daß 1/Γ eine ganze Funktion ist!
  3. Definieren wir 1/Γ durch limn1/Γn, so besitzt 1/Γ:C→C nur die Nullstellen 0,−1,−2,−3,….
Da für alle 0<t<n: |tz−1(1−t/n)n|≤tℜz−1e−t konvergiert Γn(z) für ℜz>0 nach dem Satz von der dominierten Konvergenz gegen Γ(z). Mittels partieller Integration erhalten wir weiters für alle k=0,…,n−1: ∫01tz+k−1(1−t)n−kdt=n−kz+k∫01tz+k(1−t)n−k−1dt . Aus ∫01tz+n−1dt=1/(z+n), folgt dann Γn(z)=nzn(n−1)⋯1z(z+1)⋯(z+n−1)1z+n . Nach Definition von γn erhalten wir 1/Γn(z)=ze−zlog⁡n∏j=1n(1+z/j)=zezγn∏j=1n(1+z/j)e−z/j und das Produkt konvergiert kompakt auf C nach Beispiel gegen eine stetige Funktion, die nur die Nullstellen 0,−1,−2,−3,… besitzt.