$\Phi$ ist auf $\Re z > 0$ ein Logarithmus von $\G$, i.e. $e^\Phi=\G$, wobei
\begin{eqnarray*}
\Phi(z)&=&\lim_{n\to\infty}
\bigg(z\log n-\log z-\sum_{j=1}^n\log(1+z/j)\bigg)\\
\Phi^\prime(z)&=&\lim_{n\to\infty}
\bigg(\log n-\sum_{j=0}^n\frac1{z+j}\bigg)
\quad\mbox{und}\\
\Phi^\dprime(z)&=&\sum_{j=0}^\infty\frac1{(z+j)^2}~.
\end{eqnarray*}
U.A. ist $\Phi:\R^+\rar\R^+$ konvex, $\Phi^\prime(1)=-\g$ und
$\Phi^\dprime(1)=\z(2)$.
Definiere
$$
\Phi_n(z)\colon=z\log n-\log z-\sum_{j=1}^n\log(1+z/j)
$$
Nach der Produktdarstellung der Gammafunktion gilt dann $e^{\Phi_n}=\G_n$. Sowohl $\Phi_n(z)$ und $\Phi_n^\prime(z)$ konvergieren punktweise (in zumindest einem Punkt: z.B. $z=1$); da $\Phi_n^\dprime$ kompakt konvergiert, konvergiert nach Proposition $\Phi_n^\prime$ kompakt. Wiederum nach Proposition konvergiert dann $\Phi_n$ kompakt gegen $\Phi$ und es gilt: $\Phi^\prime=\lim_n\Phi_n^\prime$, $\Phi^\dprime=\lim_n\Phi_n^\dprime$ und $e^\Phi=\G$.