Sei $0 < p < 1$ und $\mu$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $\R^+$ mit der Laplace-Transformierten $\vp(t)=e^{-t^p}$, $t > 0$ - in der Wahrscheinlichkeitstheorie nennt man ein solches Maß die Verteilung einer positiven, $p$-stabilen Zufallsvariable. Dann gilt für $\Re z > -p$:
$$
\int x^{-z}\,\mu(dx)=\frac{\G(1+z/p)}{\G(1+z)}
$$
Hinweis: $\G(z)x^{-z}=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-tx}\,dt$ und Fubini.
Für $z\in\R$ folgt nach Integration, Fubini - alle Terme sind nicht negativ - sowie Beispiel:
\begin{eqnarray*}
\G(z)\int x^{-z}\,\mu(dx)
&=&\int\int_0^\infty t^{z-1}e^{-tx}\,dt\,\mu(dx)\\
&=&\int_0^\infty t^{z-1}\int e^{-tx}\,\mu(dx)\,dt\\
&=&\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t^p}\,dt
=\frac{\G(1+z/p)}{z}~.
\end{eqnarray*}
Für $\Re z > -p$ ist daher wegen $|x^{-z}|=x^{-\Re z}$ die Funktion $x\mapsto x^{-z}$ $\mu$-integrierbar und dasselbe Argument wie oben zeigt:
$$
\forall \Re z > -p:\quad
\G(z)\int x^{-z}\,\mu(dx)=\frac{\G(1+z/p)}{z}~.
$$